函数与映射

题目

函数与映射
函数的定义是什么?
映射的定义是什么?
函数和映射有何区别?

答案

函数
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素
（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
应变量,函数一个与他量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值.
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则,第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量.
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
术语函数,映射,对应,变换通常都有同一个意思.
但函数只表示数与数之间的对应关系,映射还可表示点与点之间,图形之间等的对应关系.可以说函数包含于映射.
映射
设两个集合A和B,和它们元素之间的对应关系R,如果对于A中的每一个元素,通过R在B中都存在唯一一个元素与之对应,则该对应关系R就称为从A到B的一个映射.
映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的.
映射在不同的领域有很多的名称,它们的本质是相同的.如函数,算子等等.
一一映射(双射)是映射中特殊的一种,即两集合元素间的唯一对应,通俗来讲就是一个对一个.
函数的定义为：
1．传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量 ,如果对于自变量 在某一范围内的每一个确定的值,都有唯一确定的值与它对应,那么就称 是 的函数,叫做自变量.自变量 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量 对应的 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
2.现代定义（集合观点下的定义）：设 、 是两个非空数的集合,如果按某个确定的对应关系 ,使对于集合 中的任意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数 与它相对应,那么就称 为集合 到集合 的一个函数,记作 ,其中 叫做自变量,的取值范围 叫做函数 的定义域,与 对应的 的值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数 的值域.
3.两个定义在本质上是一致的,只是叙述的出发点不同.
映射是定义是：设 、 是两个集合,如果按照某种对应法则 ,对于集合 中的任意一个元素,在集合 中都有唯一的一个元素和它对应,这样的对应（包括集合 、 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到集合 的映射,记作：.
根据映射的定义,可以发现：映射强调的是一种对应关系,它是一种特殊的对应,其特点是：
（1）映射中集合 、 可以是数集,也可以是点集或其他集合,同时两个集合必须必须有先后次序,从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.
（2）映射包括集合 、 以及 到 的对应法则 ,三者缺一不可.
（3）对于一个从 到 的映射而言,中每一个元素必有唯一的象,但 中的每一个元素却不一定有原象,若有也不一定只有一个.
根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射,是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应,还有其他的对应.