两角和与差的三角函数的推导
题目
两角和与差的三角函数的推导
答案
正弦、余弦的和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
设 α+β=θ,α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
法2
根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa
正切的和差化积
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)
cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
证明:左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行.若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正,正在前,余加余,余并肩
正减正,余在前,余减余,负正弦
反之亦然 生动的口诀:(和差化积)
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅
哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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