如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD． 求证：BC+AD＞AB+CD．

题目

如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD．
求证：BC+AD＞AB+CD．

答案

证明：在OA上截取OC′=OC，在OB上截取OD′=OD，
连接C′D′，AD′，BC′，设BC′、AD′交于E（如图），
易证△COD≌△C′OD′（SAS），
所以CD=C′D′，
易证△AOD≌△AOD′，△COB≌△C′OB（SAS），
所以AD=AD′，CB=C′B，
在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′①
在△ABE中，AE+BE＞AB②
①+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′，
所以AD′+BC′＞AB+CD，
所以AD+BC＞AB+CD．