设W1,W2是向量空间V的子空间.证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2,那么它一定包含W1+W2.

题目

设W1,W2是向量空间V的子空间.证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2,那么它一定包含W1+W2.

答案

设W1为（x1,x2.xn）,W2为（y1,y2...yn）.则由子空间的性质可知存在实数使x1=0,x2=0...xn=0.y1=0,y2=0...yn=0.(子空间包含零向量).既可以说存在实数使得x1+y1,x2+y2...xn+yn=0.且可以证w1+w2这一空间（x1+y1...xn+yn）对于加法,和与标量的乘法都封闭.即可以说空间w1+w2为V的子空间,所以v一定包含w1+w2.