已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f(2-x)=f(x),若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根,求该方称在区间[-1,3]上所有实数之根之和.

题目

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f(2-x)=f(x),若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根,求该方称在区间[-1,3]上所有实数之根之和.

答案

f(x)是定义在R上的奇函数,图像关于原点对称,
,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,则f(x)在[-1,1)上单调递减,
f(2-x)=f(x)则f(x)图像关于直线x=1对称（2-x与x对应的函数值相等,不论x为何值,x+(2-x)=2,
[x+(2-x)]/2=1,
函数f(x)在[-1,1)上单调递减,则函数f(x)在[1,3]上单调递增,
f(x)=-1在[0,1)上有实数根,直线y=-1与f(x)图在[0,1)上有一个交点,在[-11)和[1,3]上各有有一个交点,直线y=-1与f(x)图在[-,3]上共有2个交点,且这两个交点关于直线x=1对称,交点横坐标之和=2,即f(x)=-1在区间[-1,3]上所有实数之根之和=2.