设f（x）=log31−2sinx1+2sinx （1）判断函数y=f（x）的奇偶性； （2）求函数y=f（x）的值域．

题目

设f（x）=log₃

1−2sinx

1+2sinx

答案

（1）∵

1−2sinx

1+2sinx

＞0⇒-

1

2

＜sinx＜

1

2

⇒2kπ-

π

6

＜x＜2kπ+

π

6

，k∈Z，定义域关于原点对称．
∴f（-x）=log₂

1+2sinx

1−2sinx

=log₂ (

1−2sinx

1+2sinx

)−1=-log₂

1−2sinx

1+2sinx

=-f（x）．
∴故其为奇函数；
（2）由上得：定义域(2kπ−

π

6

，2kπ+

π

6

)，k∈Z，
∵

1−2sinx

1+2sinx

=

−(1+2sinx)+2

1+2sinx

=-1+

2

1+2sinx

．
而-

1

2

＜sinx＜

1

2

⇒0＜1+2sinx＜2⇒

2

1+2sinx

＞1⇒-1+

2

1+2sinx

＞0⇒y=log₃ 

1−2sinx

1+2sinx

的值域为R．
∴值域为R．