等腰梯形的周长为80,底角为60,当梯形腰长为多少时,梯形面积最大

题目

等腰梯形的周长为80,底角为60,当梯形腰长为多少时,梯形面积最大

答案

设上底为x,下底为y
由于等腰梯形底脚为60度,所以腰长d=2*((y-x)/2)=y-x,梯形的高h=d*sin60=d*(根号3)/2
所以,周长==x+y+2d=x+y+2(y-x)=3y-x=80,则x=3y-80
由梯形面积公式,
S=(x+y)*h/2
=(根号3)/4*(x+y)(y-x)
=(根号3)/4*(y^2-x^2)
=(根号3)/4*(-8y^2+480y-6400)
=-2*(根号3)*(y^2-60y+800)
=-2*(根号3)*((y-30)^2-100)
所以,当y=30,面积取到最大值,此时x=10
腰长d=y-x=20