如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA， 求证：AE=2AD．

题目

如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，
求证：AE=2AD．

答案

证明：延长AD至M，使DM=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=CD，
在△ABD和△MDC中

BD＝CD ∠ADB＝∠MDC AD＝DM

，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC=AB，∠B=∠MCD，
∵AB=CE，
∴CM=CE，
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，
即∠ACM=∠ACE，
在△ACE和△ACM中

AC＝AC ∠ACE＝∠ACM CM＝CE

，
∴△ACM≌△ACE（SAS）．
∴AE=AM，
∵AM=2AD，
∴AE=2AD．

首先延长AD至M，使DM=AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC=AB，∠B=∠MCD，即可得出∠ACM=∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可得出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用倍长中线得出辅助线是解题关键．