如图1,点A在y轴的正半轴上,以OA为边作等边三角形AOC. (1)点B是x轴正半轴上的一个动点,如图1当点B移动到点D的位置时,连接AD,请你在第一象限内确定点E,使△ADE是等边三角形(保留
题目
如图1,点A在y轴的正半轴上,以OA为边作等边三角形AOC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b151f8198618367a965cf46c2d738bd4b21ce5ae.jpg)
(1)点B是x轴正半轴上的一个动点,如图1当点B移动到点D的位置时,连接AD,请你在第一象限内确定点E,使△ADE是等边三角形(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)在(1)的条件下,在点B的运动过程中,∠ACE的大小是否发生变化?若不变,求出其度数;若变化,请说明理由.
(3)如图2,把你在(1)中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转,使点E落在y轴的正半轴上E′的位置,得到正△AE′D′,连接CE′、OD′交于点F.现在给出两个结论:①AF平分∠CAD′;②FA平分∠OFE′,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论是正确的,并进行证明.
答案
(1)如下图:分别以A和D为圆心,AD为半径画弧,取在第一象限的交点E,连接AE、DE,则三角形ADE是所求的等边三角形.
(2)∠ACE的大小不发生变化,总等于90°,
理由:
根据题意,有AD=AE,AO=AC,
∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°,
∴∠OAD=∠CAE,
在△ACE和△AOD中
,
∴△ACE≌△AOD(SAS)
∴∠ACE=∠AOD=90°,
即∠ACE的大小不发生变化,总等于90°.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cdbf6c81800a19d857970fb430fa828ba71e46ef.jpg)
(3)第二个结论②FA平分∠OFE′是正确的,
理由是:过A分别作AM⊥OD′于M,AN⊥CE′于N,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1c950a7b02087bf46839dc58f1d3572c10dfcfae.jpg)
在△OAD′和△CAE′中
,
∵△OAD′≌△CAE′(SAS),
∴CE′=OD′,
∴AM=AN(全等三角形的对应边上的高相等),
∵AN⊥CE′,AM⊥OD′,
∴∠AFN=∠AFM,
即FA平分∠OFE,∴②正确;
∵FE和OF不相等,
∴∠FAE不一定等于∠FAO,
∵∠EAD′=∠CAO=60°,
∴∠D′AF不一定等于∠FAC,
∴①错误;
即只有②正确.
(1)分别以A和D为圆心,AD为半径画弧,取在第一象限的交点E,连接AE、DE即可;
(2)根据等边三角形性质得出AD=AE,AO=AC,∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°,推出∠OAD=∠CAE,根据SAS证△ACE≌△AOD,推出∠ACE=∠AOD即可;
(3)②FA平分∠OFE′是正确的,根据等边三角形性质推出△CAE′≌△OAD′,推出AN=AM,根据角平分线性质推出即可;根据等腰三角形的性质推出∠FAE′≠∠FAO,根据等边三角形性质推出∠E′AD′=∠CAO,即可推出①是错误的.
等边三角形的性质;坐标与图形性质;角平分线的定义;全等三角形的判定与性质;作图—复杂作图;旋转的性质.
本题考查了对等边三角形的性质,坐标与图形性质,角平分线定义,作图-复杂图形,旋转性质,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,此题综合性比较强,有一点难度,主要培养学生分析问题和解决问题的能力.
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