若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是(  ) A.-1 B.2 C.−12+2 D.12+2

若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是(  ) A.-1 B.2 C.−12+2 D.12+2

题目
若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是(  )
A. -1
B.
2

C.
1
2
+
2

D.
1
2
+
2
答案
y=sinx+cosx+sinxcosx
=sinx(1+cosx)+1+cosx-1
=(1+sinx)(1+cosx)-1
1
2
[(1+sinx)2+((1+cosx)2]-1
(当且仅当1+sinx=1+cosx时成立,此时sinx=cosx=
2
2

即y(max)=
2
+
1
2

故选D
函数y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为(1+sinx)(1+cosx)-1,由基本不等式可得y≤
1
2
[(1+sinx)2+((1+cosx)2]-1,当且仅当1+sinx=1+cosx时成立,此时sinx=cosx=
2
2
,进而得到答案.

基本不等式;三角函数的最值.

本题考查的知识点是三角函数的最值,其中将y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为(1+sinx)(1+cosx)-1,为基本不等式的使用创造条件,是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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