在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为_.
题目
在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
答案
根据题意设P的坐标为(t,-t
3+1),且0<t<1,
求导得:y′=-3x
2,故切线的斜率k=y′
|x=t=-3t
2,
所以切线方程为:y-(-t
3+1)=-3t
2(x-t),
令x=0,解得:y=2t
3+1;令y=0,解得:x=
,
所以△AOB的面积S=
(2t
3+1)•
=
(2t2+) 2,
设y=2t
2+
=2t
2+
+
≥3
3 | 2t2• • |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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