老师好 A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则|A|和|B|都等于0.

题目

老师好 A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则|A|和|B|都等于0.
1.A,B为n阶非零矩阵,AB=0,则A,B秩都小于n 这是怎么来的呀?
2.设A,B为n阶方阵,AB=0,则|A|=0或|B|=0.

答案

标题的非0矩阵,若|A|和|B|不都等于0,假设|A|≠0,则A满秩,则AX=0仅零解,所以B得每一列都为0,所以B=0,这与A,B为n阶非零矩阵相悖,所以|A|和|B|都等于0
1中,有标题问答,可知|A|=|B|=0,即都不是满秩,＜n
2中,去掉了“非零”这个条件,若A=0,B就随意了,只要是n阶就成立,即此时可以有|B|≠0,
同理,若B=0,也是这个意思. 所以此时,只要|A|=0或|B|=0