平面图形A由抛物线y=1/2x^2与y=1-1/2x^2围成,求A的周长与面积,若将A绕X轴一周,求此旋转体的体积

题目

平面图形A由抛物线y=1/2x^2与y=1-1/2x^2围成,求A的周长与面积,若将A绕X轴一周,求此旋转体的体积

答案

A是由形状相同、方向相反的两条抛物线围成,并且关于y轴对称.先求出A 的左右角点坐标.
由 1/2x^2=1-1/2x^2 得：x=±1,相应y=1/2;
A面积为:∫(1-1/2x^2-1/2x^2)dx=x-x^3/3,将积分上下限[1__-1]代入得A=4/3；
图形上下左右对称,故仅需计算其四分一之周长即可；以曲线y=1/2x^2在[x=0__1]段弧长为准,因 dy=y'dx=xdx,
故L=4∫√[(dy)^2+(dx)^2]=4∫√[(1+x^2)]dx=2{[x*(√(1+x^2))]+ln[x+(√(1+x^2))]},代入上下限得：L=2[√2+(ln(1+√2))]；
绕X轴旋转体是一类似救生圈的圆盘,积分域在A上,V=∫∫(2лy)dxdy=∫dx∫(2лy)dy ;
V=∫dx∫(2лy)dy=л∫dx(y^2),将y积分域上下限[1-1/2x^2__1/2x^2]代入得：
V=л∫[1-x^2] dx,对x积分并将上下限[1,0]代入得：
V=л[1-1/3]=2л/3