已知数列｛an｝满足：1*a1+2*a2+3*a3+.+n*an=n(an的n是下标)（1）求数列公式（2）若bn=2^n/an

题目

已知数列｛an｝满足：1*a1+2*a2+3*a3+.+n*an=n(an的n是下标)（1）求数列公式（2）若bn=2^n/an
求｛bn｝的前n项和

答案

1*a1+2*a2+3*a3+.+n*an=n
1*a1+2*a2+3*a3+.+(n-1)*a(n-1)=n-1
两式相减得
n*an=1
an=1/n
bn=2^n/an
=2^n/(1/n)
=n*2^n
sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+.+n*2^n.1
2sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+.+n*2^(n+1).2
1式-2式得
-sn=2^1+2^2+2^3+2^4+.+2^n-n*2^(n+1)
-sn=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
-sn=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
sn=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2
sn=(n-1)*2^(n+1)+2