n名乒乓球运动员参加单循环赛,每名运动员之间都要进行比赛

题目

n名乒乓球运动员参加单循环赛,每名运动员之间都要进行比赛
（接题）,在循环赛的过程中,1号运动员获胜x1次,失败y1次,2号运动员获胜x2次,失败y2次...n号运动员获胜xn次,失败yn次.
求证：x1^2+x2^2+...+xn^2=y1^2+y2^2+...+yn^2

答案

由于是单循环赛,每名运动员恰好参加n-1局比赛,
故：任意一名队员参加的比赛次数为：xi＋yi＝n-1(i＝1、2、3、…n)
因为乒乓比赛没有平局,有一个队员获胜,必然有一个队员失败,
故：x1＋x2＋…＋xn＝y1＋y2＋…＋yn
则：(x1^2＋x2^2＋…＋xn^2)-(y1^2＋y2^2＋…＋yn^2)
＝(x1^2-y1^2)＋(x2^2-y2^2)＋…＋(xn^2-yn^2)
＝(x1＋y1)(x1-y1)＋(x2＋y2)(x2-y2)＋…＋(xn＋yn)(xn-yn)
＝(n-1)〔(x1-y1)＋(x2-y2)＋(x3-y3)＋…＋(xn-yn)〕
＝(n-1)〔(x1＋x2＋…＋xn)-(y1＋y2＋…＋yn)〕
＝0
所以,x1^2＋x2^2＋…＋xn^2＝y1^2＋y2^2＋…＋yn^2．