三角形ABC中,AB=AC=5,M为BC上任一点,求AM的平方+BM乘CM的值（三角形为钝角三角形）

题目

三角形ABC中,AB=AC=5,M为BC上任一点,求AM的平方+BM乘CM的值（三角形为钝角三角形）

答案

证：过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设M点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=（MB+MC）/2,
ME=BE-MB=（MB+MC）/2-MB=（MC-MB）/2
在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组：
AE^2 +CE^2 =AE^2 +（MB+MC）^2 /4=AC^2=25 .(1)
AE^2 +ME^2 =AE^2 +（MC-MB）^2/4=AM^2 .(2)
(1)-(2)得
（MB+MC）^2 /4-（MC-MB）^2/4=25-AM^2
MB*MC=25-AM^2
故AM^2+MB*MC=25
即AM平方+MB*MC=25