求解几道函数题
题目
求解几道函数题
1.设F(x)是一次函数,且f(2)+f(3x)=f(2x+1)+ x ,求f(x)
2.设F(x)是一次函数,且f(f(x))=f(x-1)+f(x+1)-3 ,求f(x)
答案
x=1
f(2)+f(3)=f(3)+ 1
f(2)=1
x=1/2
f(2)+f(3/2)=f(2)+ 1/2
f(3/2)=1/2
所以可以解出f(x)=x-1
令f(x)=ax+b
f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b
f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b
f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b
f(f(x))=f(x-1)+f(x+1)-3
即a^2x+ab+b=ax-a+b+ax+a+b-3=2ax+2b-3
即(a^2-2a)x+ab-b+3=0对于任意x恒成立
则a^2-2a=0且ab-b+3=0
a=0或a=2
又F(x)是一次函数 所以a=2
则b=-3
f(x)=2x-3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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