已知数列｛an｝的前n项和为Sn,又有数列｛bn｝,他们满足b1=a1,且对任意n∈正整数有an+Sn=n,b(n+1)=a(n+1)--an,求证｛bn｝是等比数列

题目

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,又有数列｛bn｝,他们满足b1=a1,且对任意n∈正整数有an+Sn=n,b(n+1)=a(n+1)--an,求证｛bn｝是等比数列

答案

an+Sn=n
a(n+1)+S(n+1)=n+1
两式相减,得
2a(n+1)-an=1
a(n+1)=(1+an)/2,且b(n+1)=a(n+1)--an=1-a(n+1)
对任意n>=2,
b(n+1)=1-a(n+1)=1-(1+an)/2=(1-an)/2=bn/2
因此只要n>=2,就有b(n+1)/bn=1/2
对an+Sn=1,令n=1,则a1+S1=1
而S1=a1
因此2*a1=1
a1=1/2
令n=2
a2+S2=2
2*a2+a1=2
a2=(2-a1)/2=3/4
因此b2=a2-a1=1/4=a1/2=b1/2
也就是说对n=1也有b(n+1)/bn成立
因此{bn}是等比数列