设D：x^2+y^2+z^2=a^2,则∫∫(x+y+z)^2dS曲面积分为多少?(D区域上）

题目

设D：x^2+y^2+z^2=a^2,则∫∫(x+y+z)^2dS曲面积分为多少?(D区域上）
答案是4∏a^4

答案

以为曲面是个球形,根据曲面的对成性,对含有x,y,z的一次项的积分都等于0
原积分=∫∫(x+y+z)^2 dS=∫∫(x^2+y^2+z^2+2yz+2zx+2xy)dS=∫∫(x^2+y^2+z^2)dS
=a^2 ∫dS
=a^2 *（积分曲面的面积）
=a^2*4πa^2
=4πa^4