1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2如何推导,

题目

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2如何推导,
不允许用数学归纳法,恭候赐教,

答案

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
……
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
相加
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+1*n
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2
代入后整理可得
1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2