设函数y=sin^2x-2acosx+3cos^2x-2a-2的最小值为f(a) 用a表示fa 确定

题目

设函数y=sin^2x-2acosx+3cos^2x-2a-2的最小值为f(a) 用a表示fa 确定
确定能使fa=1/2的值,对a求y最大值

答案

解
y=sin^2x-2acosx+3cos^2x-2a-2
=sin^2x-2acosx+cos^2x+2cos^2x-2a-2
=1--2acosx+2cos^2x-2a-2
=2cos^2x-2acosx-2a-1
=2（cos^2x-acosx+1/4a ² ）-1/2a ² -2a-1
=2（cosx-1/2a） ² -1/2a ² -2a-1
最小值为f(a) 则
f(a)= -1/2a ² -2a-1
-1/2a ² -2a-1=1/2
-a ² -4a-2=1
-a ² -4a-3=0
a ² +4a+3=0
（a+1）（a+3）=0
a=-1或者
a=-3（当a=-3时,原函数cosx-1/2a取不到0,也就是说不是最小值,故舍去）
所以y=2（cosx-1/2a） ² -1/2a ² -2a-1
=2（cosx+1/2）² -1/2+2-1
ymax =2--1/2+2-1=5/2
y最大值为 5/2