已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A． （Ⅰ）求证：BD与⊙O相切； （Ⅱ）若AD：AO=8：5，BC=2，

题目

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．

（Ⅰ）求证：BD与⊙O相切；
（Ⅱ）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．

答案

（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠CBD=∠A，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．
∵∠CBD=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE=BC：BD．
∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10．
∴8：10=2：BD，
∴BD=2.5．