对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数,则实数k的取值范围是_.
题目
对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=lnx+x是k倍值函数,则实数k的取值范围是______.
答案
∵f(x)=lnx+x,定义域为{x|x>0},f(x)在定义域为单调增函数,
因此有:f(a)=ka,f(b)=kb,即:lna+a=ka,lnb+b=kb,即a,b为方程lnx+x=kx的两个不同根.
∴k=1+
,令 1+
=g(x),令 g'(x)=
=0,可得极大值点x=e,故g(x)的极大值为:g(e)=1+
,
当x趋于0时,g(x)趋于-∞,当x趋于∞时,g(x)趋于1,
因此当1<k<1+
时,直线y=k与曲线y=g(x)的图象有两个交点,方程 k=1+
有两个解.
故所求的k的取值范围为(1,1+
),
故答案为 (1,1+
).
由于f(x)在定义域{x|x>0} 内为单调增函数,利用导数求得g(x)的极大值为:g(e)=1+
,当x趋于0时,g(x)趋于-∞,当x趋于∞时,g(x)趋于1,因此当1<k<1+
时,直线y=k与曲线y=g(x)的图象有两个交点,满足条件,从而求得k的取值范围.
函数的值域.
本题主要考查利用导数求函数的值的方法,体现了转化的数学思想,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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