已知函数f(x)=x3-3x. (1)求函数f(x)在[-3,3/2]上的最大值和最小值; (2)过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程.
题目
已知函数f(x)=x
3-3x.
(1)求函数f(x)在[-3,
答案
(1)f′(x)=3(x+1)(x-1),
当x∈[-3,-1)或x∈(1,
]时,f′(x)>0,
∴[-3,-1],[1,
]为函数f(x)的单调增区间,
当x∈(-1,1)为函数f(x)的单调减区间,
又∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(
)=-
,
所以当x=-3时,f(x)
min=-18,
当x=-1时,f(x)
max=2.
(2)由于点P不在曲线上,故设切点为(x
0,y
0)则切线方程为:y-y
0=3(x
02-1)(x-x
0)①,
又点P(2,-6)在此切线上,以及y
0=x
03-3x
0代入①,解得:x
0=0或3,
故此直线的斜率为3或24,
故可求得切线的方程为y=3x或y=24x-54.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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