已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）． （1

题目

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．

答案

（1）对于条件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0，
又由条件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1），
∴根据③，若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
∴f（x₂）-f（x₁）
=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）≥0．
即f（x₂）≥f（x₁），故f（x）在[0，1]上是单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．