高一指数函数题

题目

高一指数函数题
设0≤x≤2,求函数 的最大值和最小值.
x-1/2 x
y=4 - a·2 + a*a/2 + 1
..................x-1/2 x
y=4 - a·2 + a*a/2 + 1

答案

4^(x-1/2)=2^(2x-1)=(2^2x)/2=(2^x)²/2
∴y=4^(x-1/2)-a*2^x+a²/2+1
=(2^x)²/2-a*2^x+a²/2+1
令t=2^x∈[1,4]
则y=t²/2-at+a²/2+1=(t²-2at+a²)/2+1=(t-a)²/2+1
当a∈[1,4]时,
t=a时,y有最小值为1
①a∈[1,2.5]时,t=4时,最大值y=9-4a+a²/2
②a∈(2.5,4]时,t=1时,最大值y=3/2-a/2+a²/2
当a＜1时
t=1时,y有最小值y=3/2-a/2+a²/2
t=4时,y有最大值y=9-4a+a²/2
当a＞4时
t=1时,y有最大值y=3/2-a/2+a²/2
t=4时,y有最小值y=9-4a+a²/2
综上
当a＜1时,y最小值为3/2-a/2+a²/2,最大值为9-4a+a²/2
当1≤a≤2.5时,y最小值为1,最大值为9-4a+a²/2
当2.5＜a≤4时,y最小值为1,最大值为3/2-a/2+a²/2
当a＞4时,y最小值为9-4a+a²/2,最大值为3/2-a/2+a²/2