设函数y=f(x)在x=0处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=0处不可导的充分条件是____
题目
设函数y=f(x)在x=0处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=0处不可导的充分条件是____
答案
由于函数y=f(x)在x=0处可导,所以
lim[f(x)-f(0)]/x存在,即左右导数都存在且相等.
由绝对值的性质和图像可知,y=f(x)的绝对值在x=0点的左导数和右导数也都存在.所以,若想让函数y=f(x)的绝对值在x=0处不可导,必须要让它在x=0左右导数不相等.由此可以得到函数y=f(x)必须在x=0点左右异号,并且导数不为零.
综上,充分条件是:函数y=f(x)在x=0点左右异号,并且导数不为零.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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