若一RT△斜边长为c,内切圆半径为r,则内切圆面积与三角形面积之比是多少?

题目

若一RT△斜边长为c,内切圆半径为r,则内切圆面积与三角形面积之比是多少?

答案

作直角三角形并在其内部作内切圆,过圆心作三边的垂线,
设直角三角形的三边长分别为a,b,c,
利用切线长定理可得内切圆的半径r=(a+b-c)/2,
所以a+b=c+2r,
又因为a^2+b^2=c^2,
所以S三角形=ab/2=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/4=[(c+2r)^2-c^2]/4=(4cr+4r^2)/4=cr+r^2,
所以S圆:S三角形=πr^2:(cr+r^2)=πr:(c+r).