双曲线x＾2/3-y＾2=1与直线y=kx+1交于点c、d,且c,d都在以A(0,-1)为圆心的圆上,求k值

题目

双曲线x＾2/3-y＾2=1与直线y=kx+1交于点c、d,且c,d都在以A(0,-1)为圆心的圆上,求k值

答案

c(x1,y1)、d(x2,y2)、A(0,-1)
y=kx+1
x^2-3y^2-3=0(双曲线方程变形)
把x=(y-1)/3代入上式,消去x得：
（1-3k^2）y^2-3y-3k^2=0
由韦达定理：
y1+y2=2/(1-3k^2)
c、d在双曲线上,有
x1^2=3(1-y1^2)
x2^2=3(1-y2^2)
c、d在圆上,Ac=Ad,有
（y2+1）^2+x2^2=x1^2+(y1+1)^2
把x1、x2代入上式,消去x1、x2整理得
y1+y2=-1/2
应用前面得到的结论
2/(1-3k^2)=-1/2
解得：k=±（1/3）√15