数学题 高中数学 求椭圆的标准方程

题目

数学题 高中数学 求椭圆的标准方程
已知P是椭圆X的平方比A平方+Y的平方比B的平方=1上的一点,F1 F2为两个焦点,且F1P垂直F2P,P到两准线的距离分别是6和12,求此椭圆的标准方程.

答案

假设P到左准线的距离为d1=6,到右准线的距离为d2=12
右椭圆第二定义,PF1/d1=PF2/d2
即PF1/6=PF2/12
PF2=2PF1 (1)
又F1P垂直F2P
所以PF1^2+PF2^2=(2c)^2 (2)
由（1）、（2）解得
PF1=2c/√5,PF2=4c/√5
由椭圆第一定义,PF1+PF2=2a
即6c/√5=2a (3)
P到两准线的距离分别是6和12
所以2a^2/c=18 （4）
联立（3）（4)解得
a=3√5,c=5
所以b^2=a^2-c^2=20
因此,椭圆的标准方程是x^2/45+y^2/20=1