a+b=120度,求y=sin^a+cos^b的最小值

题目

a+b=120度,求y=sin^a+cos^b的最小值

答案

a+b=120度,求y=sina+cosb的最小值
y=sina+cosb= sina+sin(90-b)=2sin((a+90-b)/2)cos((a+b-90)/2)
=2sin((a+90-b)/2)cos((120-90)/2)=2sin((a+90-b)/2)cos15
当(a+90-b)/2=(a-b+90)/2=360K+270度,（K为任意整数）,即a-b=720K+450度时,
sin((a+90-b)/2)=-1最小,此时由
由a+b=120度,a-b=720K+450度
解得a=360K+285度,b=-360K-115度
故当a=360K+285度,b=-360K-115度时,y=sina+cosb取最小值-cos15=-(√2+√6)/4.