离散数学代数结构

题目

离散数学代数结构
设*是集合A上可结合的二元运算,且∀a,b∈A,若a*b=b*a,则a=b试证明:
(1) ∀a∈A,a*a=a,即a是幂等元;
(2) ∀a,b∈A,a*b*a=a;
(3) ∀a,b,c∈A,a*b*c=a*c

答案

⑴.∵（a*a）*a＝a*（a*a）,∴a*a＝a.
⑵.∵（a*b*a）*a＝（a*b）*（a*a）＝（a*b）*a＝a*（b*a）
＝（a*a）*（b*a）＝a*（a*b*a）.∴a*b*a＝a.
⑶.∵（a*b*c）*（a*c）＝（a*b）*（c*a*c）＝（a*b）*c
＝a*（b*c）＝（a*c*a）*（b*c）＝（a*c）*（a*b*c）.∴a*b*c＝a*c