设a,b,c是正整数,关于x的二元一次方程ax^2+bx+c=0的两实数根的绝对值均小于1/3,求a+b+c的最小值

题目

设a,b,c是正整数,关于x的二元一次方程ax^2+bx+c=0的两实数根的绝对值均小于1/3,求a+b+c的最小值

答案

【解】：a,b,c是正整数
记f(x)=ax^2+bx+c,f’(x)=2ax+b
根据韦达定理可知两根同号；
f’(0)=b>0,0点斜率为正,所以两根同负；
则,根据题意有：
f(-1/3)=a/9-b/3+c>0
Δ=b^2-4ac>0
-b/2a>-1/3
化简得：
a-3b+9c>0
b^2>4ac>6bc,得：b>6c
得：2a>3b>12c
Min[c]=1,Min[b]=5,Min[a]=8
Min[a+b+c]=14.