设点F(0,3/2),动圆P经过点F且和直线y=-3/2相切,记动圆的圆心P的轨迹方程为曲线W

题目

设点F(0,3/2),动圆P经过点F且和直线y=-3/2相切,记动圆的圆心P的轨迹方程为曲线W
设点F（0,3/2）,动圆P经过点F且和直线y=-3/2相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W,（1）求曲线W的方程 （2）过点F作互相垂直的直线L1,L2,分别交曲线W于A、C和B、D四个点,求四边形ABCD
面积的最小值

答案

第一个问题：
由抛物线定义可知：曲线W是一条以F（0,3/2）为焦点、以y＝－3/2为准线的抛物线,
∴此抛物线方程是x^2＝6y,即y＝x^2/6.
第二个问题：
令L1的斜率为k.
∵L1⊥L2,∴L2的斜率为－1/k.
∵L1、L2都过点F（0,3/2）,∴L1、L2的方程分别是y＝kx＋3/2、y＝－x/k＋3/2.
联立：y＝kx＋3/2、y＝x^2/6,消去y,得：x^2/6＝kx＋3/2,∴x^2－6kx－9＝0.
联立：y＝－x/k＋3/2、y＝x^2/6,消去y,得：x^2/6＝－x/k＋3/2,∴kx^2＋6x－9k＝0.
∵A、C都在y＝kx＋3/2上,
∴可分别令A、C的坐标为（x1,kx1＋3/2）、（x2,kx2＋3/2）.
显然,x1、x2是方程x^2－6kx－9＝0的根,∴由韦达定理,有：
x1＋x2＝6k、x1x2＝－9.
∴（x1－x2）^2＝（x1＋x2）^2－4x1x2＝36k^2＋36＝36（1＋k^2）.
∵B、D都在y＝－x/k＋3/2上,
∴可分别令B、D的坐标分别为（x3,－x3/k＋3/2）、（x4,－x4/k＋3/2）.
显然,x3、x4是方程kx^2＋6x－9k＝0的根,∴由韦达定理,有：
x3＋x4＝－6/k、x3x4＝－9.
∴（x3－x4）^2＝（x3＋x4）^2－4x3x4＝36/k^2＋36＝36（1＋1/k^2）.
∵AC⊥BD,∴容易证出四边形ABCD的面积＝（1/2）AC×BD.
而AC^2＝（x1－x2）^2＋（kx1－kx2）^2＝（1＋k^2）（x1－x2）^2＝36（1＋k^2）^2,
　BD^2＝（x3－x4）^2＋（x4/k－x3/k）^2＝（1＋1/k^2）（x3－x4）^2＝36（1＋1/k^2）^2.
∴四边形ABCD的面积
＝（1/2）×36（1＋k^2）（1＋1/k^2）＝18（1＋k^2＋1/k^2＋1）≧18（2＋2）＝72.
∴四边形ABCD的面积的最小值是72.