半径为2的圆O中,弦AB,CD垂直相交于P点,连接OP,若OP=1,求证:AC^2+BD^2为定值

题目

半径为2的圆O中,弦AB,CD垂直相交于P点,连接OP,若OP=1,求证:AC^2+BD^2为定值

答案

如图：

作OF⊥AB于F,OE⊥CD 于E,连接OB,OD,
在Rt⊿OFB和Rt⊿OED中,由勾股定理得,
FB²＝OB²;－OF² …………………①  
ED²＝OD²－OE²;…………………②
①+②得
FB²;+ED²;=OB²;+OD²;－(OF²;+OE²;) ……③
∵OE=FP
∴OF²;+OE²;=OF²;+FP²;=OP²＝1;
由垂径定理得,
FB=1／2·AB,ED=1／2·CD
代入③得
(1／2·AB﹚²;+(1／2·CD﹚²;=R²;+R²;－1,
即AB²;+CD²;=8R²;－4;
＝8×2²－4=28.