求大师解答：求函数 y=[2sinx(1-sinx)]/[3-cos2x+4sinx] ,x属于(0

题目

求大师解答：求函数 y=[2sinx(1-sinx)]/[3-cos2x+4sinx] ,x属于(0
求函数 y=[2sinx(1-sinx)]/[3-cos2x+4sinx] ,x属于(0,π2)的值域
分子怎么多出来一个sinx呢？

答案

y=[2sinx(1-sinx)]/[3-cos2x+4sinx]
=[2sinx(1-sinx)]/[3-(1-2sin^2x)+4sinx]
=[2sinx(1-sinx)]/[3-1+2sin^2x+4sinx]
=[2sinx(1-sinx)]/[2sin^2x+4sinx+2]
=[2sinx(1-sinx)]/[2(sin^2x+2sinx+1)]
=sinx(1-sinx)]/(sinx+1)^2
=(sinx-sin^2x)/(sinx+1)^2
=(2sinx-sin^2x-1+1)/(sinx+1)^2
=[-(sinx+1)^2+1]/(sinx+1)^2
=-(sinx+1)^2/(sinx+1)^2+1/(sinx+1)^2
=-1+1/(sinx+1)^2
x∈(0,π/2)
sinx∈(0,1)
sinx+1∈(1,2)
(sinx+1)^2∈(1,4)
1/(sinx+1)^2∈(1/4,1)
-1+1/(sinx+1)^2∈(-3/4,0)
所以y=[2sinx(1-sinx)]/[3-cos2x+4sinx]的值域为：(-3/4,0)