求对数螺线ρ=eθ（由极坐标方程给出）在点（ρ，θ）=(eπ2，π2)处的切线的直角坐标方程．

题目

求对数螺线ρ=e^θ（由极坐标方程给出）在点（ρ，θ）=(e

π

2

，

π

2

)处的切线的直角坐标方程．

答案

对数螺线的参数方程为：

x＝eθcosθ y＝eθsinθ

，
从而，x′（θ）=e^θ（cosθ-sinθ），y′（θ）=e^θ（cosθ+sinθ），
故

dy

dx

=

y′(θ)

x′(θ)

=

cosθ+sinθ

cosθ−sinθ

．
将θ＝

π

2

代入可得，

dy

dx

|θ＝

π

2

＝

cosθ+sinθ

cosθ−sinθ

|θ＝

π

2

＝−1．
当θ＝

π

2

时，x＝0，y＝e

π

2

，故所求切线方程为：
y−e

π

2

＝−(x−0)，
即：y＝−x+e

π

2

．

首先写出对数螺线的参数方程，利用参数方程的求导法则计算

dy

dx

的表达式；然后利用导数的几何意义即可求出所求的切线方程．

本题考点：求函数在某点的切线方程与法线方程．

考点点评：本题主要考查了参数方程的求导方法、导数的几何意义以及函数在某点的切线方程的求法．题目具有综合性，难度系数适中，需要仔细的计算．