..圆与椭圆..

题目

..圆与椭圆..
中心在原点,焦点在X轴上,且离心率为(根号3)/2的椭圆交圆(X-2)平方+(Y-1)平方=5/2于A,B两点,若AB恰为圆的直径,求椭圆的方程.

答案

x^2是指x的平方
设椭圆方程为(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1
e=c/a=(根号3)/2,a^2=b^2+c^2,得出
a^2=4b^2
则椭圆方程可化简为x^2+4y^2=4b^2
设A的坐标为(p,q),B的坐标为(s,t),不妨令q>t
AB中点为圆心,则p+s=4,q+t=2
p^2+4q^2=4b^2----------(1)
s^2+4t^2=4b^2----------(2)
(1)-(2),整理得
(p+s)(p-s)+4(q+t)(q-t)=0 =>p-s=-2(q-t)----------(3)
AB长度是圆的直径,即根号10
(p-s)^2+(q-t)^2=10-----------(4)
将(3)代入(4)中,得 q-t=根号2
又q+t=2,得q=(2+根号2)/2
因为p-s=-2根号2,p+s=4,得p=2-根号
把p、q的值代入椭圆方程,
得 b^2=3
椭圆方程为(x^2)/12+(y^2)/3=1