已知圆O中,AB=CD,延长BA,DC相交于P点,E为弧BD上一点,CE交BD于F 求证；PA=PC; AB×EF＝BE×DF；

题目

已知圆O中,AB=CD,延长BA,DC相交于P点,E为弧BD上一点,CE交BD于F 求证；PA=PC; AB×EF＝BE×DF；

答案

本题主要考察一条“在同圆中,等弧或同弧所对的圆周角相等”
证明：
∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴∠ADB=∠CBD(在同圆中,等弧所对的圆周角相等)--------①
又∵∠ADC=∠ABC(在同圆中,同弧AC所对的圆周角相等)---------②.
①+②得：∠PDB=∠PBD,
∴PB=PD.
又∵AB=CD,
∴PA=PC.
下面证明第二问：
在△ABE和△DFE中,
∠BAE=∠FDE(在同圆中,同弧BE所对的圆周角相等),
∠BEA=∠FED(在同圆中,等弧(弧AB和弧CD)所对的圆周角相等)
∴△ABE ∽△DFE,
∴AB/BE = DF/EF.
即：AB×EF＝BE×DF