设方程x^2+ax+1=b的两个根均是自然数,试证:a^2+b^2是合数

题目

设方程x^2+ax+1=b的两个根均是自然数,试证:a^2+b^2是合数
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答案

假设两根是mn
则m+n=-a
mn=1-b
所以a=-(m+n)
n=1-mn
a²+b²=m²+2mn+n²+1-2mn+m²n²
=m²n²+m²+n²+1
=(m²+1)(n²+1)
若m=1,n=0,此时=2,不是合数
所以应改为两根是正整数
这样m²+1>=2,n²+1>=2
所以(m²+1)(n²+1)是合数
所以a²+b²是合数