设关于x的方程lg2x－lgx2＋3p＝0的两个实数根是α、β,

题目

设关于x的方程lg2x－lgx2＋3p＝0的两个实数根是α、β,
⑴求实数p的取值范围；
⑵将q＝logαβ＋logβα表示成q的函数；
⑶求q的取值范围.

答案

方程应该是(lgx)^2-lg(x)^2+3p=0吧?那么方程可化为(lgx)^2-2lgx+3p=0,(1)△=(-2)^2-4*3p≥0,∴实数p的取值范围是：p≤1/3.(2)q=lgβ/lgα+lgα/lgβ=[(lgβ)^2+(lgα)^2]/lgαlgβ=[(lgα+lgβ)^2-2lgαlgβ]/lgαlgβ,lgα+lgβ=2,lgαlgβ=3p,q=(4-6p)/3p=4/(3p)-2.∴q=4/(3p)-2,p∈(-∞,0)∪(0,1/3].(3)反解,得p=4/(3q+6),由p≤1/3且p≠0,得：4/(3q+6)≤1/3,解得q的取值范围是:q≥2或q