什么是矩阵的奇异值分解?

题目

什么是矩阵的奇异值分解?

答案

奇异值 奇异值矩阵 奇异值矩阵分解

奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解,在信号处理、统计学等领域有重要应用.
定义：设A为m*n阶矩阵,的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值.记为.
(A),则HA)^(1/2).
定理:（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵,则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V,使得:
A = U*S*V’
其中S=diag(σi,σ2,……,σr),σi>0 (i=1,…,r),r=rank(A).
推论：设A为m*n阶实矩阵,则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V,使得
A = U*S*V’
其中S=diag(σi,σ2,……,σr),σi>0 (i=1,…,r),r=rank(A).
说明：
1、奇异值分解非常有用,对于矩阵A(m*n),存在U(m*m),V(n*n),S(m*n),满足A = U*S*V’.U和V中分别是A的奇异向量,而S是A的奇异值.AA'的正交单位特征向量组成U,特征值组成S'S,A'A的正交单位特征向量组成V,特征值（与AA'相同）组成SS'.因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系.
2、奇异值分解提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同,一旦秩r确定,那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基.
关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为A'A特征值的说明. (对复矩阵类似可得)
从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: A=USV, 其中U,V是正交阵(所谓B为正交阵是指B'=B-1, 即B'B=I), S为对角阵.
A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V
上式中, 一方面因为S是对角阵, S'S=S2, 且S2对角元就是S的对角元的平方. 另一方面注意到A'A是相似与S2的, 因此与S2有相同特征值.
注：下面的符号和上面的有差异,注意区分
SVD步骤：
1、求AHA或AAH
2、求AHA或AAH的特征值及特征向量x1,x2,...xr, r个特征值组成
3、 U=(x1,x2,...xr)地
4、V1=AU1Δr-1,取V2与其正交,则V=(V1,V2)
则n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基,则U是U距阵.
一个简单的充分必要判别准则是 方阵U的转置共扼距阵乘以U 等于单位阵,则U是U距阵
正交向量组的性质
定义1 Euclid空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交向量组．
若正交向量组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交向量组．
设V是一个n维Euclid空间．若V中n个向量α1,α2,…,αn构成一个正交组,则由定理9.2.1知道这n个向量构成V的一个基．这样的一个基叫做V的一个正交基．若V的一个正交基还是一个标准正交向量组,则称这个基是V的一个标准正交基．