求使x+y≤ax+y(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.
题目
答案
由于a的值为正数,将已知不等式两边平方,
得:x+y+2
≤a
2(x+y),即2
≤(a
2-1)(x+y),①
∴x,y>0,∴x+y≥2
,②
当且仅当x=y时,②中有等号成立.
比较①、②得a的最小值满足a
2-1=1,
∴a
2=2,a=
(因a>0),
∴a的最小值是
.
先将题设的不等式平方后,同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a.
不等式的综合.
本题主要考查了基本不等式的综合.(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数;(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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