将1～8这八个数放在正方体的八个顶点上，使任一面上四个数中任意三数之和不小于10．求各面上四数之和中的最小值．

题目

将1～8这八个数放在正方体的八个顶点上，使任一面上四个数中任意三数之和不小于10．求各面上四数之和中的最小值．

答案

情形1：这个面上出现数1．
设其余三个数为a，b，c，因为a+b，b+c，c+a互不相同，且依题设加1之和不小于1O，这样a+b，b+c，c+a这三个数至少要不小于9，1O，11．故（a+b）+（b+c）+（c+a）≥9+1O+11，即a+b+c≥15，
加上1之后，四个数之和≥16．
情形2：这个面上不出现数1．
显然依题意不能同时出现2，3，4，因为2+3+4=9＜10．
于是，这些数至少有2，3，5，6，2+3+5+6=16．
故4数之和的最小值为16．具体分布如图．