过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为(  ) A.2 B.3 C.2 D.5

过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为(  ) A.2 B.3 C.2 D.5

题目
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的一个焦点F作一条渐线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若
FB
=2
FA
,则此双曲线的离心率为(  )
A.
2

B.
3

C. 2
D.
5
答案
作业帮 如图因为
FB
=2
FA
,所以A为线段FB的中点,
∴∠2=∠4,又∠1=∠3,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3.
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒
b
a
=
3

e2=1+(
b
a
)
2
=4⇒e=2.
故选:C.
先由
FB
=2
FA
,得出A为线段FB的中点,再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数,找到a,b之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率.

双曲线的简单性质.

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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