数论综合

题目

数论综合
1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数是多少?

答案

a2008=a2007+a2006
=(a2006+a2005)+(a2005+a2004)
=a2006+2*a2005+a2004
=(a2005+a2004)+2*a2005+a2004
=3*a2005+2*a2004
即a2008除以3所得的余数与2*a2004除以3所得的余数是一样的,
同理,a2004除以3所得的余数与2*a2000除以3所得的余数是一样的,
同理,a2000除以3所得的余数与2*a1996除以3所得的余数是一样的,
即a2008除以3所得的余数与2*a2004,4*a2000,8*a1996,16*a1992.2^n*a(2008-4n)除以3所得的余数都是一样的.
当n=501,2008-4n=4,a4=3,2^501*3被3整除,即a2008也能被3整除,所以第2008个数除以3所得的余数为0.