小强在学习中发现：1×2×3×4＋1＝25＝5²,2×3×4×5＋1＝121＝11²,3×4×5×6＋1＝361＝19².更具上述规律,小强猜出“任意四个连续的正整数的积

题目

小强在学习中发现：1×2×3×4＋1＝25＝5²,2×3×4×5＋1＝121＝11²,3×4×5×6＋1＝361＝19².更具上述规律,小强猜出“任意四个连续的正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”这个结论,小强得出这个结论是否正确?如果正确请你证明这个结论；如果不正确,请你说明理由.

答案

设连续四个整数是：x-1,x,x+1,x+2
则相乘后加1为：
(x-1)x(x+1)(x+2)+1=x^4+2x^3-x^2-2x+1
=x^4+2x^2(x-1)+(x-1)^2
=[x^2+(x-1)^2]^2
=(x^2+x-1)^2
所以结论成立.