已知向量OA=(1,2)向量OB=(3,-2)向量OC=(5-m,-3-m)

题目

已知向量OA=(1,2)向量OB=(3,-2)向量OC=(5-m,-3-m)
（1）若点A,B,C能够成三角形,求实数m应满足的条件
（2）若∠A为锐角,求实数m所满足的条件

答案

（1）向量AB=OB-OA=(2,-4),|AB|=√(2^2+4^2)=2√5；
向量BC=OB-OC=(2-m,-1-m),|BC|=√[(2-m)^2+(-1-m)^2]=√(2m^2-2m+5)；
向量CA=OA-OC=(m-4,5+m)；|CA|=√[(m-4)^2+(5+m)^2]=√(2m^2+2m+41)=√[2(m+1/2)^2+81/2]≥9/√2；
因|CA|>|AB|,当m>-9时,|CA|>|BC|,若构成三角形只须|CA||CA|,ABC若为三角形只有|BC|>|CA|+|AB|,即√[2(m-1/2)^2+9/2]>√[2(m+1/2)^2+81/2]+2√5；
化简得：(m-1)^2-9且m≠1式时,|CA|>|AB|+|BC|,A、B、C三点可构成三角形；

（2）若要求∠A为锐角,则cos∠A>0,因为|BC|不是三角形ABC的最长边,条件自然满足,对m的要求与（1）相同；