已知函数f(x)=m+logaX(a＞0且≠1)的图象过点(8,2),点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q也在f(x)的图象上

题目

已知函数f(x)=m+logaX(a＞0且≠1)的图象过点(8,2),点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q也在f(x)的图象上
,函数y=g(x)的图象由y=f(x)得图象按向量h=(-1,1)平移得到
(1).写出f(x)和g(x)解析式
(2).令h(x)=g(x^2)-f(x),求h(x)的最小值及取得最小值时x的值

答案

（1）点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q的坐标为：(1,-1)
则(8,2),(1,-1)在图象f(x)=m+logaX(a＞0且≠1)上
即：m+loga(8)=2
m+loga(1)=-1
解得：m=-1,a=2
所以f(x)=log2（X）-1
由y=f(x)得图象按向量h=(-1,1)平移,即向左平移一个单位,向上平移一个单位
后得到：
g(x)=log2(x+1)
(2)g(x^2)=log2(x^2+1)
h(x)=g(x^2)-f(x)=log2(x^2+1)-log2(x)+1
=log2((x^2+1)/x)+1
(x^2+1)/x=x+1/x >=2√(x*1/x)=2
此时,x=1/x,又因为x>0,所以 x=1
那么log2((x^2+1)/x)+1>=log2(2)+1=2
综上,当x=1时,h(x)有最小值的为2