正三棱椎有一个半径为√3的内切球则此棱锥的体积为多少?

题目

正三棱椎有一个半径为√3的内切球则此棱锥的体积为多少?

答案

正四面体内有一个半径为 √3 的内切球,则中心（球心）到任一面的距离是 d=√3；
设正四面体的边长是 a,则任一面上等边三角形的高为 √3*a/2,单侧面积 s=√3*a²/4；
棱锥高 H²=a²-[(√3*a/2)*(2/3)]²=2a²/3,体积 V=s*H/3=[(√3*a²/4)*√(2a²/3)]/3=√2a³/12；
另一方面,V=(s*d/3)*4=[(√3*a²/4)*√3/3]*4=a²；
对比可得 √2a³/12=a²,∴ a=6√2；
V=a²=(6√2)²=72；